第三，李冶完整解决了分式方程问题，他已懂得用方程两边同乘一个整 式的方法化分式方程为整式方程。
第四，李冶已懂得用纯代数方法降低方程次数。当方程各项含有公因子
n x（n为正整数）时，李冶便令次数最低的项为实，其他各项均降低这一次
n 数。这一作法相当于用x去除方程各项。
李冶在《测圆海镜》中，采用了从0至9的完整数码。除0以外的9个 数码古已有之，是筹式的反映。但筹式中遇0空位，没有符号0。李冶《测 圆海镜》与秦九韶《数书九章》是最早使用0的两本算书。
秦九韶（1202—1261），字道古，普州安岳（今四川安岳）人。公元1247 年9月，完成数学名著《数书九章》。
李冶的《测圆海镜》比秦九韶的《数书九章》成书的时间相差不过一年。
李冶还发明了负号和一套相当简明的小数记法。
李冶的负号与现在不同。是画在数字上的一条斜线，通常画在最后一位 有效数字上，如-175记作 ，-360记作
在国外，德国人于15世纪才首先引入负号。
在李冶之前，小数记法离不开数名，如7.59875尺记作七尺五寸九分八 厘七毫五丝。
李冶则取消数名，完全用数码表示小数，纯小数于个处写0，带小数于 个位数下写步，如 0.25记作○＝|||||， 5.76记作 这种记法在当 时算是最先进的。
西方在16世纪，小数记法还很笨拙。例如比利时数学家S·斯蒂文在1585 年发表的著作中，把每位小数都写上位数，加上圆圈，如 27.847写作 278 ①4②7③，这种记法显然不如李冶的记法简便。直到17世纪，英国数学家J·纳 普尔 （1550—1617）发明小数点后，小数才有了更好的记法。
李冶由于掌握了一套完整的数字符号及性质符号，他的方程已能用符号 表示，从而改变了用文字描述方程的旧面貌。但这时仍缺少运算符号，尤其 是缺少等号。这样的代数，可称为“半符号代数”，它是近代符号代数的前 身。大约300年后，类似的半符号代数也在欧洲产生了。
《测圆海镜》不仅是我国现存最早的一部天元术著作，而且在体例上也 有创新。全书本上是一个演绎体系，卷一包含了解题所需的定义、定理、公 式，后面各卷问题的解法均可在此基础上以天元术的方法推导出来。李冶以 前的算术，一般采取问题集的形式，各章 （卷）内容大体上平列。李冶以演 绎法著书，这是中国数学史上的一个进步。
四、会见忽必烈
李冶《测圆海镜》的成书标志着天元术成熟，对后世具有深远的影响。
元代的王恂（1235—1281）、郭守敬（1231—1316），在编《授时历》 的过程中，曾用天元术求周天弧度。不久，沙克什用天元术解决水利工程中 的问题，收到了良好效果。
元代数学家朱世杰（公元13—14世纪）说：
“以天元演之，明源活法，省功数倍。”
清代阮元 （1764—1849）说：
“立天元者，自古算家之秘术；而海镜者，中土数学之宝书也。”
李冶写成《测圆海镜》以后，到太原住了一个时期，藩府官员曾请他出 仕，但他谢绝了。后来，他又流落到平定。平定侯聂珪很尊重他，把他接到 自己的帅府来住。他却“私心眷眷于旧游之地”，怀念着少年求学时的元氏。
公元1251年，李冶的经济情况已经好转，他终于结束了在山西的避难生 活，回元氏定居。他在封龙山下买了一点田产，以维持生活，并开始收徒讲 学，从事数学教育活动。
李冶的学生越来越多，家里逐渐容纳不下了，于是师生共同努力，在北 宋李昉 （925—996）读书堂故基上建起了封龙书院。
李冶在书院不仅讲数学，也讲文学和其他知识。他呕心沥血，培养出大 批人才，并常在工作之余与好友元好问、张德辉 （山西交城人）一起游封龙 山，被人们称“龙山三老”。
在蒙古军队攻金过程中，中原地区的社会经济遭到严重破坏。由于害怕 被占领地区人民的反抗，蒙古军每攻下一处，都实行残酷的屠杀，使大量人 民丧失了生命。如攻占保州（今河北保定）、密州（今山东诸城）、卫州（今 河南汲县）时，除工匠留下不杀外，其他人都一律杀死。此外，还大量掠夺
“驱口”，即奴隶。“掠者私其主”，实行谁掠夺来归谁有的政策。大军所 过，麦苗被践踏，耕牛被掠走，堤堰被捣毁。因为不知道农业生产的重要性， 有的人甚至主张尽杀汉人，改农田为牧场。如别迭等人就曾提出：“汉人无 补于国，可悉空其人以为牧地。”
蒙古军的上述暴行理所当然地激起了中原人民的反抗斗争，即所谓“河 朔盗起”，“河北群雄如牛毛”。有的起义军多达10万余人。在人民斗争的 打击下，蒙古贵族内部发生了分化，出现了主张依然如故的守旧派和要求改 变统治方式的革新派。蒙古族杰出的统治者忽必烈即属于后者。
忽必烈建元以前，蒙古汗国的政治中心一直在蒙古草原上的哈喇和林。 燕京被成吉思汗攻克以后，蒙古统治者把它当成控制华北、中原的重要据点。 蒙哥汗在位时，一方面派自己的亲信来燕京充当断事官，控制燕京。另一方 面又委任自己的兄弟忽必烈 （拖雷四子）去管理“漠南汉地军国庶事”，实 质上在华北、中原地区形成了两个互相控制的政治集团。忽必烈受命管理汉 地之事以后，把自己的营帐选在草原和汉地接壤的开平 （今内蒙古正蓝旗 东），既能与哈喇和林联系，又能控制漠南汉地。他把开平作为他的基地， 为夺取政权积极准备人才。
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